使用指南

本页依据北京师范大学出版社《义务教育教科书·数学》（2024版新课标）整理，覆盖七年级上册（2024秋启用）至九年级下册。提供两种分类视图：按教材单元——按“册→章→节”浏览，每节标注体系路径；按知识体系——按“领域→模块→子模块”跨册重组（如：数与代数 → 方程与不等式 → 一元二次方程 → 一元二次方程的解法）。顶部可切换视图，左侧可按领域筛选，搜索框全局可用，支持打印。

版本提示：2024版新教材最大的编排变化——①“概率初步”提前至七下第三章；②“数据的分析”章重构为“平均数与方差/中位数与箱线图”；③“命题与证明”整合证明初步内容；④“二次函数”由九下提前至九上第五章、“反比例函数”移至九下；⑤各章增设“问题解决策略/活动”栏目。九下新版教材预计2027年春季启用，届时请以正式教材为准。

七年级上册双源核验

2024年秋季学期启用 · 目录经教材扫描件与完整PDF两路独立核验

第一章丰富的图形世界图形与几何▾

从生活中的物体抽象出柱体、锥体、球等立体图形，通过展开、折叠、截切与从不同方向观察，建立立体图形与平面图形之间的联系，发展几何直观与空间观念。

1.生活中的立体图形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 立体图形初步

认识常见几何体并按结构特征分类，理解点、线、面、体之间的关系。

常见立体图形及其分类柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体三大类；会按底面形状、侧面特征识别与分类生活中的几何体。
直棱柱的结构特征底面是多边形、侧面都是长方形且侧棱互相平行；n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、(n+2) 个面。
圆柱、圆锥与棱柱、棱锥的辨析圆柱/圆锥的侧面是曲面，底面是圆；棱柱/棱锥的侧面是多边形，底面是多边形。
点、线、面、体点动成线、线动成面、面动成体；面与面相交成线，线与线相交成点，几何体都是由点线面构成的。

2.从立体图形到平面图形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 立体图形初步

通过展开与折叠、截几何体、从三个方向看物体，把立体图形问题转化为平面图形问题。

立体图形的展开与折叠沿棱剪开把立体图形摊平成展开图，折叠是展开的逆过程；判断展开图能否围成原几何体。
正方体的展开图正方体展开图共 11 种（“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”“3-3”型）；“一线不过四、凹字田字不能围”。
截一个几何体用平面截几何体所得图形叫截面；截面正方体可得三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形（截面边数不超过面数）。
从三个方向看物体主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）；会由几何体画三视图，由三视图想象并描述原几何体。

第二章有理数及其运算数与代数▾

借助具有相反意义的量引入负数，把数的范围扩充到有理数；借助数轴理解相反数、绝对值，系统学习有理数的加减乘除、乘方与混合运算，是整个初中代数运算的基础。

1.认识有理数数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 有理数

理解负数意义，掌握有理数分类、数轴、相反数、绝对值与大小比较。

负数与相反意义的量收入与支出、零上与零下等具有相反意义的量，可用正负数表示；0 既不是正数也不是负数。
有理数的分类按定义分：整数（正整数、0、负整数）与分数（正分数、负分数）；按符号分：正有理数、0、负有理数。
数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线；任何一个有理数都能用数轴上唯一的点表示，右边的点表示的数总比左边的大。
相反数只有符号不同的两个数互为相反数；a 与 -a 互为相反数，互为相反数的两数之和为 0；数轴上表示互为相反数的两点关于原点对称。
绝对值数轴上表示数 a 的点到原点的距离记作 |a|；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，即 |a|≥0。
有理数的大小比较正数大于 0，0 大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

2.有理数的加减运算数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 有理数

掌握有理数加法法则与减法法则，能熟练进行加减混合运算。

有理数加法法则同号相加取相同符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；一个数同 0 相加仍得这个数。
有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a−b=a+(−b)，减法统一转化为加法。
加法运算律加法交换律 a+b=b+a、结合律 (a+b)+c=a+(b+c)；互为相反数、同号、同分母的数先结合可使运算简便。
加减混合运算统一成加法后写成省略加号的和的形式，再运用运算律简化计算。

3.有理数的乘除运算数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 有理数

掌握有理数乘法与除法法则，会求倒数，能运用运算律简化乘除运算。

有理数乘法法则两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
倒数乘积为 1 的两个数互为倒数；a(a≠0) 的倒数是 1/a；0 没有倒数。
乘法运算律交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 在有理数范围内仍然成立，是简算的重要工具。
有理数除法法则除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；两数相除同号得正、异号得负；0 不能作除数，0 除以任何非 0 数得 0。

4.有理数的乘方数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 有理数

理解乘方运算的意义与符号法则，会用科学记数法表示较大的数。

乘方的意义求 n 个相同因数 a 的积的运算叫乘方，记作 aⁿ；其中 a 是底数，n 是指数，乘方的结果叫幂。
幂的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
科学记数法把大于 10 的数写成 a×10ⁿ 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为比原数整数位数小 1 的非负整数；也可表示绝对值较小的数。

5.有理数的混合运算数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 有理数

按运算顺序进行有理数混合运算，能灵活运用运算律简化计算并解决实际问题。

混合运算的顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）；同级运算从左到右依次进行。
灵活运用运算律在混合运算中恰当使用交换律、结合律、分配律，可减少计算量、降低出错率。
用有理数运算解决实际问题如气温变化、盈亏核算、成绩增减等，把实际问题转化为有理数运算求解并解释结果。

第三章整式及其加减数与代数▾

从用字母表示数出发学习代数式，认识单项式、多项式与整式，掌握合并同类项与去括号法则，能进行整式的加减并借助代数式探索与表达规律，实现由算术到代数的跨越。

1.代数式数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式及其加减

理解字母表示数的意义，掌握代数式的概念、书写规范与求值方法。

字母表示数用字母表示数可以简明地表示数量与数量关系（如运算律、公式），是代数的基本思想。
代数式及求值用运算符号把数与字母连接而成的式子叫代数式；用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值。
单项式数与字母的乘积组成的代数式；其中的数字因数是系数，所有字母的指数之和是次数。
多项式与整式几个单项式的和叫多项式，每个单项式叫它的项（含常数项），次数最高项的次数是多项式的次数；单项式与多项式统称整式。

2.整式的加减数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式及其加减

掌握同类项概念、合并同类项法则与去括号法则，会进行整式的加减运算。

同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；所有的常数项都是同类项。
合并同类项法则合并时系数相加，字母和字母的指数不变；合并同类项是整式加减的基础。
去括号法则括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号内各项不变号；括号前是“−”号，去掉括号后括号内各项都要变号。
整式的加减与化简求值一般步骤是先去括号、再合并同类项；求值时先化简再代入，可使计算更简便。

3.探索与表达规律数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式及其加减

用代数式表示具体情境和图形中的数量关系与变化规律。

用代数式表示规律对日历数阵、火柴棒拼图等情境，先观察特殊情形，再用字母表示一般规律。
规律的表达与验证同一规律可以用不同方式表达；把具体数值代入代数式检验，确认规律的合理性。

☆问题解决策略：归纳综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 归纳

新教材特色栏目：学习“由特殊到一般”的归纳策略。

归纳策略从若干特殊例证入手，观察共性、提出猜想、再用代数式表达并验证，体会从特殊到一般的思维方式。

第四章基本平面图形图形与几何▾

认识线段、射线、直线与角等基本图形，学习线段与角的比较、运算及有关作图，了解多边形和圆的初步知识，打好几何语言与几何直观的基础。

1.线段、射线、直线图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 线与角

掌握直线、射线、线段的表示方法与基本事实，学会比较线段长短。

直线、射线、线段直线向两方无限延伸、射线向一方无限延伸、线段有两个端点可度量；都用两个大写字母或一个小写字母表示。
基本事实“两点确定一条直线”经过两点有且只有一条直线；两条直线相交只有一个交点。
线段长短的比较度量法（用刻度尺量长度）、叠合法（把一条线段移到另一条上比较）。
两点之间线段最短连接两点的所有线中，线段最短；两点之间线段的长度叫两点间的距离。
线段的中点把线段分成两条相等线段的点；若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=½AB，常用于线段的和差计算。

2.角图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 线与角

理解角的概念与度量单位，学会比较角的大小、计算角的和差、认识角平分线并了解基本作图。

角的定义与表示有公共端点的两条射线组成的图形叫角；也可看作一条射线绕端点旋转而成；用三个大写字母、顶点字母或希腊字母、数字表示。
角的度量与换算1°=60′，1′=60″；会进行度、分、秒之间的换算与角度的四则运算。
角的比较与和差用量角器度量或叠合法比较角的大小；角的和差仍是一个角，结合图形进行角度计算。
角的平分线从一个角的顶点引出、把这个角分成两个相等的角的射线；若 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=½∠AOB。
基本作图：作一个角等于已知角用尺规（无刻度直尺和圆规）作一个角等于已知角，是课标要求的基本作图之一。

3.多边形和圆的初步认识图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 线与角

认识多边形与圆的有关概念，了解扇形与圆心角的关系。

多边形由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；n 边形有 n 个内角、n 个外角，连接不相邻两顶点的线段叫对角线。
正多边形各边相等、各角也相等的多边形，如正三角形、正方形、正六边形。
圆的初步认识圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦；圆上一点绕圆心转动形成圆，圆心角对应的弧与圆心角密切相关。
扇形与圆心角由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形；扇形占圆的比例 = 圆心角度数/360°，据此可求弧长与扇形面积。

第五章一元一次方程数与代数▾

认识方程与一元一次方程，依据等式的基本性质掌握解方程的一般步骤，学会用一元一次方程刻画等量关系、解决实际问题，体会方程模型思想。

1.认识方程数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元一次方程

理解方程、方程的解与一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质。

方程与方程的解含有未知数的等式叫方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求得解的过程叫解方程。
一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是 1 的整式方程，一般形式为 ax+b=0（a≠0）。
等式的基本性质性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。

2.一元一次方程的解法数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元一次方程

掌握移项、去括号、去分母等方法，归纳解一元一次方程的一般步骤。

移项把方程中的某些项改变符号后从一边移到另一边，依据是等式的基本性质1，通常把含未知数的项移到左边、常数项移到右边。
去括号与去分母去括号注意符号变化；方程两边同乘各分母的最小公倍数可去掉分母，注意“不要漏乘不含分母的项”。
解一元一次方程的一般步骤去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为 1，最终化为 x=a 的形式。

3.一元一次方程的应用数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元一次方程

经历“实际问题—方程模型—求解—检验”的过程，用一元一次方程解决常见应用问题。

列方程解应用题的一般步骤审题找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验作答；关键是找准等量关系。
常见应用类型行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、配套与分配问题、打折销售（利润=售价−进价）等。
方程思想的体会方程是刻画现实世界等量关系的重要模型，“设而不求的未知数”让复杂问题变得简洁可解。

☆问题解决策略：直观分析综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 直观分析

新教材特色栏目：借助直观手段分析数量关系。

直观分析策略用线段图、示意图、表格等把抽象的数量关系直观化，帮助寻找等量关系、制定解题方案。

第六章数据的收集与整理统计与概率▾

认识数据在现实世界中的作用，经历数据的收集、整理与表示过程，理解普查与抽样调查，会用统计表和统计图描述数据，发展数据观念。

1.丰富的数据世界统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的收集与整理

感受数据的多样性，认识不同类型的数据及其作用。

数据的类型数量型数据（如身高、气温）与符号/类别型数据（如性别、等级）；数据类型决定整理与表示的方式。
数据的作用与整理数据蕴含信息，可用于描述现象、作出判断；收集数据后需要分类、排序、汇总等整理。

2.数据的收集统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的收集与整理

理解普查与抽样调查两种收集数据的方式及总体、个体、样本等概念。

普查与抽样调查为一特定目的对所有考察对象逐一调查是普查；只调查一部分是抽样调查；普查准确但费时费力，抽样省时省力。
总体、个体、样本所要考察对象的全体叫总体，每个考察对象叫个体，被抽取的一部分个体叫样本，样本中个体的数目叫样本容量。
抽样的代表性简单随机抽样使每个个体被抽到的机会相同，样本才有代表性，才能用样本估计总体。

3.数据的表示统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的收集与整理

会用统计表与各类统计图表示数据，掌握扇形统计图与频数直方图。

统计图的选择条形统计图直观反映各类数量的多少，折线统计图反映变化趋势，扇形统计图反映部分占总体的百分比。
扇形统计图用圆代表总体、扇形代表部分；某部分扇形的圆心角 = 该部分百分比 × 360°。
频数与频率落在不同小组中的数据个数叫频数，频数与总数的比叫频率，各组频率之和为 1。
频数直方图一种特殊的条形统计图，按组距分组、以频数为纵轴，能直观反映连续型数据在各组的分布。

综合与实践综合与实践（七上）综合与实践▾

新版教材每册设“综合与实践”栏目，以项目式学习综合运用数学知识解决真实问题。

①.关注人口老龄化综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 关注人口老龄化

围绕人口老龄化主题收集数据、整理分析并形成报告。

用数据研究社会问题综合运用数据的收集与整理、统计图的选择等知识，分析人口老龄化数据并表达观点。

②.制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒

在正方形纸板上剪去四角小正方形折成无盖长方体，探索容积最大的方案。

代数与几何的综合应用用代数式表示容积随剪去的小正方形边长的变化，借助表格与数据比较寻找最大容积，体会“由数据作决策”。

七年级下册双源核验

2025年春季学期启用 · 目录经教材扫描件与完整PDF两路独立核验

第一章整式的乘除数与代数▾

系统学习同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等幂的运算法则，掌握整式的乘法与除法以及平方差、完全平方公式，为因式分解、分式和二次函数的学习奠定基础。

1.幂的乘除数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式的乘除与乘法公式

掌握四条幂的运算法则及零指数、负整数指数幂的意义。

同底数幂的乘法aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（m、n 都是正整数），底数不变、指数相加。
幂的乘方(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，底数不变、指数相乘。
积的乘方(ab)ⁿ=aⁿbⁿ，把积的每一个因式分别乘方。
同底数幂的除法aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0），底数不变、指数相减。
零指数幂与负整数指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即 a⁰=1；a⁻ᵖ=1/aᵖ（a≠0，p 是正整数）。

2.整式的乘法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式的乘除与乘法公式

掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式与多项式乘多项式的法则。

单项式×单项式系数与系数相乘作为系数，相同字母的幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母连同其指数不变写在积里。
单项式×多项式用分配律把单项式乘多项式的每一项，转化为单项式乘单项式，如 m(a+b)=ma+mb。
多项式×多项式用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加，如 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。

3.乘法公式数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式的乘除与乘法公式

掌握平方差公式与完全平方公式，理解公式的几何背景并灵活运用。

平方差公式(a+b)(a−b)=a²−b²；几何背景是正方形剪去小正方形后拼成长方形。
完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²；注意结果为三项，防止漏掉中间项 2ab。
乘法公式的运用公式中的 a、b 可以是数、字母或式子；常用于简算与变形，如 (a+b+c)² 分组套用。

4.整式的除法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 整式的乘除与乘法公式

掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则。

单项式÷单项式系数与同底数幂分别相除作为商的系数和因式，只在被除式里含有的字母连同指数写在商里。
多项式÷单项式用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

第二章相交线与平行线图形与几何▾

研究同一平面内两条直线的位置关系，认识对顶角、余角与补角，理解垂直，探索并掌握平行线的判定与性质，开始系统的说理与推理训练。

1.两条直线的位置关系图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 相交线与平行线

认识相交与平行，掌握对顶角、余角、补角的性质与垂直的概念。

相交与平行同一平面内两条直线的位置关系只有相交与平行两类；不相交的两条直线叫平行线。
对顶角及其性质两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角，对顶角相等。
余角与补角和为 90° 的两角互余，和为 180° 的两角互补；同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。
垂直两条直线相交成直角时互相垂直，交点叫垂足；平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段与点到直线的距离连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度。

2.探索直线平行的条件图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 相交线与平行线

认识同位角、内错角、同旁内角，探索并掌握平行线的判定方法。

同位角、内错角、同旁内角“三线八角”中位置特征各不相同：同位角呈“F”形、内错角呈“Z”形、同旁内角呈“U”形。
平行线的判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
平行的基本事实与推论过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行。

3.平行线的性质图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 相交线与平行线

掌握平行线的三条性质，理解判定与性质的区别并能综合运用。

平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
性质与判定的综合运用判定“由角定线”，性质“由线定角”；结合对顶角、邻补角进行角度推理计算。

第三章概率初步统计与概率▾

认识生活中的随机现象，区分确定事件与随机事件，通过大量试验感受频率的稳定性，学会计算等可能事件的概率，初步形成随机观念。

1.感受可能性统计与概率

体系路径：统计与概率 → 概率 → 概率初步

识别生活中的确定事件与随机事件，感受事件发生的可能性有大小。

确定事件与随机事件一定会发生的事件叫必然事件，一定不会发生的事件叫不可能事件，统称确定事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
可能性的大小随机事件发生的可能性有大小之分，与该事件包含的结果数所占比例有关。

2.频率的稳定性统计与概率

体系路径：统计与概率 → 概率 → 概率初步

通过试验理解频率的概念与稳定性，会用频率估计概率。

频率在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比 m/n 叫事件 A 发生的频率。
用频率估计概率大量重复试验中事件发生的频率呈现稳定性，逐渐稳定到某个常数，这个常数就是该事件的概率。

3.等可能事件的概率统计与概率

体系路径：统计与概率 → 概率 → 概率初步

认识等可能试验，掌握等可能事件概率的计算方法并用于判断游戏规则。

等可能事件的概率试验的所有结果有限且各结果发生的可能性相等时，P(A)=m/n，其中 n 为所有等可能结果总数，m 为事件 A 包含的结果数。
概率与游戏公平性比较双方获胜概率判断游戏规则是否公平；概率相等则公平，否则需修改规则。

第四章三角形图形与几何▾

系统认识三角形的边角性质与重要线段，理解全等三角形的概念与性质，探索并掌握三角形全等的条件，会用全等解决不可达距离的测量问题。

1.认识三角形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

掌握三角形的概念、分类与三边、三角的基本性质，认识三角形的重要线段。

三角形及其分类不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形；按边分为不等边、等腰（含等边）三角形，按角分为锐角、直角、钝角三角形。
三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；用于判断三条线段能否构成三角形。
三角形内角和与外角三角形三个内角的和等于 180°；外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的重要线段中线（连顶点与对边中点）、高线（顶点到对边的垂线段）、角平分线（平分内角）；三角形的三条中线、高线、角平分线各交于一点。
三角形的稳定性三角形三边确定后形状不再改变，这一特性在建筑与机械中应用广泛。

2.全等三角形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

理解全等图形与全等三角形的概念及性质。

全等图形与全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等图形；能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作 △ABC≌△A′B′C′，重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。
全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、高与对应角的平分线也分别相等。

3.探索三角形全等的条件图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

经历探索过程，掌握三角形全等的判定条件及其运用。

边边边（SSS）三边分别相等的两个三角形全等；可用尺规作三角形的依据。
边角边（SAS）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；“边边角”（SSA）不能保证全等。
角边角（ASA）与角角边（AAS）两角及其夹边（或其中一角的对边）分别相等的两个三角形全等。

4.利用三角形全等测距离图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

运用全等三角形的原理测量不可直接测量的距离。

构造全等测距离如利用角平分线或中点构造全等三角形，把不可达的距离转化为可测的对应边，体会转化思想。

☆问题解决策略：特殊化综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 特殊化

新教材特色栏目：学习“由一般退到特殊”的解题策略。

特殊化策略对一般性问题先考虑特殊值、特殊位置或极端情形，从特殊情形中获得启示再解决一般问题。

第五章图形的轴对称图形与几何▾

观察生活中的轴对称现象，理解轴对称的概念与性质，认识线段、角、等腰三角形等简单的轴对称图形，并运用轴对称进行思考与设计。

1.轴对称及其性质图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 轴对称

理解轴对称图形与两图形成轴对称的区别与联系，掌握轴对称的性质。

轴对称图形与成轴对称一个图形沿一条直线折叠后两部分完全重合，这个图形是轴对称图形；两个图形沿一条直线折叠后互相重合，称两图形成轴对称，这条直线叫对称轴。
轴对称的性质成轴对称的两个图形全等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分；据此可找对称点、画对称图形。

2.简单的轴对称图形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 轴对称

认识线段、角、等腰三角形等简单轴对称图形及其性质。

线段的轴对称性线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线（垂直平分线）是它的对称轴；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
角的轴对称性角是轴对称图形，角平分线所在直线是对称轴；角平分线上的点到角两边的距离相等。
等腰三角形等腰三角形是轴对称图形；等边对等角，顶角平分线、底边上的中线与高线“三线合一”；有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形三边相等的三角形，每个角都是 60°，有三条对称轴；三个角都是 60° 的三角形是等边三角形。

☆问题解决策略：转化综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 转化

新教材特色栏目：学习把新问题转化为已解决问题的策略。

转化策略把复杂问题、未知问题转化为简单问题、已解决问题，如利用轴对称把折线问题转化为线段和最小问题。

第六章变量之间的关系数与代数▾

在现实情境中认识变量、自变量与因变量，学会用表格、关系式、图象三种方式表示变量之间的关系，为函数概念的学习作铺垫。

1.现实中的变量数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 变量与函数概念初步

区分常量与变量，认识自变量与因变量。

常量与变量在某一变化过程中数值保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量。
自变量与因变量在变化过程中主动变化的量叫自变量，随之变化的量叫因变量；因变量随自变量的变化而变化。

2.用表格表示变量之间的关系数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 变量与函数概念初步

借助表格分析自变量与因变量的对应关系与变化趋势。

表格法表格直观列出若干组对应值，可观察随自变量增大因变量是增大、减小还是周期变化。

3.用关系式表示变量之间的关系数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 变量与函数概念初步

用含自变量的代数式表示因变量。

关系式法形如 y=…x… 的关系式给出因变量与自变量的一般对应规律，由自变量的值可算出因变量的值。

4.用图象表示变量之间的关系数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 变量与函数概念初步

用图象直观刻画变量间的变化关系，学会读取图象信息。

图象法图象直观呈现变化过程：上升表示增大、下降表示减小、水平表示不变；“水平段”“最高点”“交点”等都有具体意义。
速度-时间与距离-时间图象区分图象类型：速度-时间图象的“面积”与路程相关，距离-时间图象的斜率反映速度；能由图象讲述变化过程。

综合与实践综合与实践（七下）综合与实践▾

以动手实践与跨学科任务综合运用全册知识。

①.设计自己的运算程序综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 设计自己的运算程序

设计数字运算流程并探究结果规律。

用字母表达运算程序把“想一个数—按规则运算—得结果”的流程用代数式表达，解释规律背后的代数原理。

②.制作万花筒综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 制作万花筒

利用轴对称与角度知识设计制作万花筒。

对称与图案运用轴对称、旋转等知识分析万花筒图案的形成，感受几何与艺术的结合。

八年级上册教材扫描核验

2025年秋季学期启用 · 目录经2024版（2025秋用书）教材扫描件核验

第一章勾股定理图形与几何▾

通过面积法探索直角三角形三边的数量关系，掌握勾股定理及其逆定理，并运用它们解决生活与几何中的实际问题，体会数形结合与由特殊到一般的思想。

1.探索勾股定理图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 直角三角形与勾股定理

用面积法探索并掌握勾股定理。

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a²+b²=c²（c 为斜边）；我国古代称直角三角形较短的直角边为“勾”、较长的为“股”、斜边为“弦”。
面积法验证用四个全等直角三角形拼大正方形（或拼“赵爽弦图”），由面积关系推出 a²+b²=c²，体现数形结合。
用勾股定理计算已知直角三角形任意两边可求第三边，如 c=√(a²+b²)、b=√(c²−a²)。

2.一定是直角三角形吗图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 直角三角形与勾股定理

探索并掌握勾股定理的逆定理，认识勾股数。

勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a、b、c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且 c 所对的角是直角；这是判定直角三角形的重要方法。
勾股数满足 a²+b²=c² 的三个正整数，如 3、4、5；5、12、13；8、15、17 等，勾股数成倍放大后仍是勾股数。

3.勾股定理的应用图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 直角三角形与勾股定理

运用勾股定理与逆定理解决距离、长度等实际问题。

最短路径问题求圆柱、长方体侧面上两点间最短路程时，展开侧面转化为平面两点间线段，再用勾股定理计算。
实际测量与判定用勾股定理求梯子滑落、折竹、水池深度等问题；用逆定理检验边角是否成直角（如工人测直角）。

☆问题解决策略：反思综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 反思

新教材特色栏目：通过回顾与反思优化解题过程。

反思策略解题后回顾条件与结论的联系、检验结果合理性、思考其他解法，积累解题经验。

第二章实数数与代数▾

由乘方的逆运算引入平方根与立方根，认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数，学习二次根式的概念、性质与运算。

1.认识实数数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 实数

认识无理数，理解实数的概念、分类及其与数轴的关系。

无理数无限不循环小数叫无理数，如 √2、π；边长为 1 的正方形对角线长 √2 不是有理数，这是无理数存在的经典例证。
实数及其分类有理数与无理数统称实数；实数可按定义分类，也可按正负分类。
实数与数轴实数与数轴上的点一一对应；实数的大小比较、相反数、绝对值、运算律与有理数一致。

2.平方根与立方根数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 实数

理解平方根、算术平方根与立方根的概念及相互关系。

算术平方根正数 a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，记作 √a；0 的算术平方根是 0；√a 具有非负性。
平方根若 x²=a（a≥0），则 x 叫 a 的平方根，记作 ±√a；正数有两个平方根且互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方根。
立方根若 x³=a，则 x 叫 a 的立方根，记作 ∛a；正数、0、负数都有唯一的立方根，负数的立方根是负数。
开方与乘方的关系开平方、开立方分别是乘方（平方、立方）的逆运算，可相互验算。

3.二次根式数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 二次根式

掌握二次根式的概念、性质与加减乘除运算，会把结果化为最简二次根式。

二次根式的概念形如 √a（a≥0）的式子叫二次根式；被开方数非负是求字母取值范围的常用依据。
二次根式的性质(√a)²=a（a≥0）；√(a²)=|a|；√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
最简二次根式与化简被开方数不含分母且不含能开尽方的因数（式）的二次根式叫最简二次根式；化简是运算的基础。
二次根式的运算乘除：系数相乘除、被开方数相乘除后化简；加减：化为最简后合并被开方数相同的二次根式（“同类二次根式”）。

第三章位置与坐标图形与几何▾

用有序数对确定平面内的位置，建立平面直角坐标系，体会坐标思想沟通代数与几何的作用，研究轴对称与坐标变化的关系。

1.确定位置图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形与坐标 → 位置与坐标

感受确定位置的多种方法，理解有序数对的意义。

确定位置的方法行列定位（有序数对）、方位角加距离、经纬度、区域定位等；确定平面内的位置一般需要两个独立数据。

2.平面直角坐标系图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形与坐标 → 位置与坐标

掌握平面直角坐标系的构成与点的坐标特征。

坐标系与点的坐标由互相垂直、原点重合的两条数轴组成；过点向 x 轴、y 轴作垂线，垂足对应的数构成有序数对 (x, y)。
象限与坐标符号两轴把平面分成四个象限：第一(+,+)、第二(−,+)、第三(−,−)、第四(+,−)；x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0。
特殊点的坐标特征平行于 x 轴的直线上的点纵坐标相同，平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同；一、三象限角平分线上横纵坐标相等。
用坐标表示位置与移动建立恰当的坐标系描述图形位置；点的平移对应坐标的加减变化。

3.轴对称与坐标变化图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形与坐标 → 坐标与图形变换

探索图形轴对称变换前后的坐标变化规律。

关于坐标轴对称的点的坐标点 (x, y) 关于 x 轴对称得 (x, −y)，关于 y 轴对称得 (−x, y)；图形的轴对称可通过坐标变化刻画。
坐标变化与图形变换坐标按规律变化（如横纵坐标同乘某数）会引起图形的变化，体会“数”与“形”的互相转化。

第四章一次函数数与代数▾

正式建立函数概念，重点研究一次函数与正比例函数的图象与性质，掌握待定系数法，学会用一次函数及其图象解决实际问题，体会函数模型思想。

1.函数数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 变量与函数概念初步

理解函数的概念与表示方法。

函数的概念在某一变化过程中有两个变量 x、y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，y 是 x 的函数，x 是自变量。
自变量的取值范围与函数值使函数有意义的自变量取值全体是取值范围（分母不为 0、被开方数非负等）；与自变量对应的 y 的值叫函数值。
函数的三种表示法列表法、关系式法、图象法各有优势，可互相补充。

2.认识一次函数数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 一次函数

掌握一次函数与正比例函数的概念，建立一次函数模型。

一次函数与正比例函数形如 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）的函数叫一次函数；当 b=0 时，y=kx 叫正比例函数，是一次函数的特例。
建立一次函数模型匀速行程、均匀变化收费等“匀速变化”情境常用一次函数刻画，关键是确定 k 与 b 的实际意义。

3.一次函数的图象数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 一次函数

会画一次函数的图象，掌握图象特点与 k、b 对图象的影响。

一次函数的图象一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线；正比例函数图象是过原点的直线；用“两点法”画图（常取与坐标轴的交点）。
k、b 与图象的关系k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时减小；b 是直线与 y 轴交点的纵坐标；k、b 符号组合决定直线经过的象限。
待定系数法设表达式 y=kx+b，把已知两点的坐标代入求出 k、b，从而确定函数表达式。

4.一次函数的应用数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 一次函数

用一次函数的图象与性质分析和解决实际问题。

从图象获取信息读出交点、截距、增减变化等信息，解释实际意义（如两车相遇、费用相同）。
方案选择与决策比较两种方案（如租船、话费套餐）的费用函数，分段讨论何时方案更优。
函数与方程的联系函数值等于 0 对应方程的解；为后续“一次函数与方程、不等式”的联系埋下伏笔。

第五章二元一次方程组数与代数▾

用含两个未知数的方程组刻画含有多个等量关系的实际问题，掌握代入消元法与加减消元法，体会“消元”的化归思想，并认识二元一次方程与一次函数之间的联系。

1.认识二元一次方程组数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 二元一次方程组

理解二元一次方程（组）及其解的概念。

二元一次方程（组）含有两个未知数且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程；把两个二元一次方程合在一起组成方程组。
方程组的解同时满足方程组中两个方程的未知数的值叫方程组的解，一般记作 x=m, y=n。

2.二元一次方程组的解法数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 二元一次方程组

掌握消元的两种基本方法，体会化归思想。

代入消元法把一个方程用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程化为一元一次方程求解，适合某一方程系数较简单时。
加减消元法两个方程两边分别相加或相减消去一个未知数，适合同一未知数系数相同或互为相反数（或成倍数）时。
三元一次方程组（选学）含三个未知数的方程组可通过逐步消元转化为二元一次方程组再求解。

3.二元一次方程组的应用数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 二元一次方程组

用方程组解决含两个未知量的实际问题。

列方程组解应用题设两个未知数、找两个等量关系；典型问题如鸡兔同笼、增收节支、行程相遇、配套生产等。

4.二元一次方程与一次函数数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 二元一次方程组

从函数视角理解二元一次方程（组），实现方程与函数的互化。

方程的解与直线上的点二元一次方程 ax+by=c 的解对应一次函数图象（直线）上的点；两方程的公共解对应两条直线的交点。
用方程组确定一次函数表达式已知直线经过的两点，把坐标代入 y=kx+b 得方程组，解得 k、b；沟通“数”与“形”。

☆问题解决策略：逐步确定综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决策略 → 逐步确定

新教材特色栏目：学习分步缩小范围的推理策略。

逐步确定策略把多因素问题拆成若干步骤，逐步确定或排除，如数字谜、逻辑推理问题。

第六章数据的分析统计与概率▾

学习刻画数据集中趋势的平均数、中位数、众数与刻画波动大小的方差、箱线图等统计量，能根据需要选择合适的统计量分析数据、作出决策。

1.平均数与方差统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的分析

理解平均数、加权平均数与方差的意义与计算。

算术平均数与加权平均数x̄=(x₁+x₂+…+xₙ)/n；若各数据的重要程度不同，则按“权”计算加权平均数，权可以是比例、百分数或频数。
方差s²=[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²]/n，反映数据偏离平均数的波动程度；方差越大波动越大，越小越稳定。
用方差比较稳定性在平均数相同（或相近）时，比较方差判断成绩、产品的稳定性。

2.中位数与箱线图统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的分析

掌握中位数与众数，认识用四分位数绘制的箱线图。

中位数把数据从小到大排序后处于中间位置的数（偶数个时取中间两数的平均数）；不受极端值影响，代表“中间水平”。
众数出现次数最多的数据；可能不止一个，代表“多数水平”。
四分位数与箱线图用下四分位数 Q₁、中位数、上四分位数 Q₃ 与最大最小值画箱线图，直观反映数据的分布、中段范围与离群情况。

3.哪个团队收益大统计与概率

体系路径：统计与概率 → 统计 → 数据的分析

综合运用统计量比较团队水平并作出决策。

选择统计量作决策平均数反映总体水平、中位数抗极端值、众数看多数、方差看稳定；结合问题背景选择合适的统计量比较与决策。

第七章命题与证明图形与几何▾

体会证明的必要性，学习定义、命题、定理与反例等概念，掌握证明的基本格式与依据，完成平行线的判定与性质、三角形内角和等定理的证明，开启系统的演绎推理训练。

1.认识证明图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 命题与证明

理解为什么要证明，认识定义、命题、定理与证明。

证明的必要性观察、归纳、实验得到的结论可能出错（如“任意画图看似都成立”的假象），必须依靠推理证明确认。
定义与命题定义是明确概念含义的语句；命题是判断一件事情的语句，由题设（条件）和结论组成，可写成“如果……那么……”的形式。
真命题、假命题与反例正确的命题叫真命题，错误的叫假命题；判断一个命题是假命题只需举出一个反例。
基本事实、定理与证明公认的真命题（基本事实/公理）可作为推理的出发点，经推理证实的真命题叫定理；证明要有依据、有条理地书写推理过程。

2.平行线的证明图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 命题与证明

系统证明平行线的判定与性质，证明三角形内角和定理。

平行线判定与性质的证明以“同位角相等，两直线平行”等为基础，推出内错角、同旁内角的判定，并证明三条性质定理。
三角形内角和定理通过过一顶点作平行线的辅助线证明三角形三个内角和等于 180°；推论：三角形的外角等于不相邻两内角的和。

综合与实践综合与实践（八上）综合与实践▾

以数据与编码为主题的综合实践活动。

①.哪个城市夏天更热综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 哪个城市夏天更热

收集多个城市气温数据，用统计知识比较气候。

统计全过程实践收集数据（气象资料）→选择统计量（平均数、方差、箱线图）→比较分析→形成结论，完整经历统计调查过程。

②.神奇的加密术综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 神奇的加密术

了解按规则编码加密的方法，感受数学在信息安全中的应用。

编码与运算用整式运算、规则替换等方法设计简单加密与解密程序，体会数学与信息技术的联系。

八年级下册新版框架核验

2026年春季学期启用 · 章节框架经教习网2024版（2026春用书）资源目录核验，节名沿用2024版编排

第一章三角形的证明图形与几何▾

以全等三角形和平行线的知识为基础，通过演绎证明系统研究等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定，进一步规范证明书写。

1.等腰三角形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

证明等腰三角形的性质与判定，认识等边三角形。

等腰三角形的性质定理等边对等角；顶角平分线、底边上的中线与底边上的高互相重合（三线合一）；可由全等三角形证明。
等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
等边三角形的性质与判定等边三角形三边相等、三角都是 60°；三个角都相等的三角形或有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
含 30° 角的直角三角形在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。

2.直角三角形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

证明勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形全等的判定。

勾股定理及其逆定理的证明用面积法（如赵爽弦图）证明勾股定理，并证明逆定理成立。
直角三角形全等的判定（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；这是直角三角形特有的判定方法。

3.线段的垂直平分线图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理及尺规作图。

性质定理与判定定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
尺规作垂直平分线用圆规以线段两端点为圆心、大于半长的相同半径画弧，连接两交点即得垂直平分线。

4.角平分线图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 三角形

掌握角平分线的性质定理、判定定理及尺规作图。

性质定理与判定定理角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
尺规作角平分线以顶点为圆心画弧交两边，再以两交点为圆心、等半径画弧，连接顶点与交点即得平分线。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组数与代数▾

类比等式与方程学习不等式的性质与解法，掌握一元一次不等式（组）的解法及其在数轴上的表示，体会不等式与函数、方程的联系。

1.不等关系数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

认识不等式，能用不等式刻画不等量关系。

不等式及其列法用“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示不等关系的式子；从关键词（不少于、不超过、超过、低于）翻译出正确的不等号。

2.不等式的基本性质数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

掌握不等式的三条基本性质。

不等式的性质性质1：两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变；性质2：两边乘（除以）同一个正数，方向不变；性质3：两边乘（除以）同一个负数，方向改变。

3.不等式的解集数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

理解不等式的解与解集，会在数轴上表示解集。

解与解集能使不等式成立的未知数的值叫解，解的全体叫解集；一个不等式的解集通常是一个范围。
数轴表示解集大于向右画、小于向左画；含“≥”“≤”用实心点，含“>”“<”用空心圆圈。

4.一元一次不等式数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

掌握一元一次不等式的解法与应用。

解一元一次不等式步骤与解方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；注意系数化为 1 时若除以负数要改变不等号方向。
一元一次不等式的应用找不等量关系列不等式求解，注意结合实际意义确定取值（如取整数）。

5.一元一次不等式与一次函数数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

借助一次函数图象理解不等式的解集。

图象与不等式y=kx+b 的图象在 x 轴上方（下方）部分对应的 x 范围即 kx+b>0（<0）的解集；两直线比较时看交点左右的高低。
函数观点下的方案比较把方案费用、利润表示为一次函数，用不等式讨论自变量的取值范围，实现方案决策。

6.一元一次不等式组数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 不等式与不等式组

理解不等式组及其解集，掌握解法口诀。

不等式组的解集几个不等式解集的公共部分；口诀“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无处找（无解）”。
不等式组的应用同时满足多个不等关系的实际问题，常需结合整数限制确定具体方案。

第三章图形的平移与旋转图形与几何▾

研究平移与旋转两种基本的图形变换，掌握其性质并作图，认识中心对称与中心对称图形，能分析并设计简单图案。

1.图形的平移图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 平移与旋转

理解平移的概念、要素与性质，会作平移后的图形。

平移的概念与性质沿某方向移动一定距离；对应点连线平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行且相等、对应角相等，图形的形状大小不变。
平移作图与坐标变化确定关键点、按方向距离平移后连线；在坐标系中向右（上）平移加、向左（下）平移减。

2.图形的旋转图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 平移与旋转

理解旋转的概念、要素与性质，会作旋转后的图形。

旋转的概念与性质绕某一点转动一定角度；对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，图形的形状大小不变。
旋转作图确定旋转中心、方向与角度，把关键点逐一旋转后连线；旋转常用于构造全等（如半角模型）。

3.中心对称图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 中心对称与图案设计

认识中心对称与中心对称图形及其性质。

中心对称的概念与性质一个图形绕一点旋转 180° 后与另一个图形重合，称两图形成中心对称；对应点连线经过对称中心且被平分。
中心对称图形绕某点旋转 180° 后与自身重合的图形，如平行四边形、圆、正六边形；与轴对称图形区分记忆。

4.简单的图案设计图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 中心对称与图案设计

分析图案中的变换关系并进行设计。

图案分析与设计从基本图形出发，分析平移、旋转、轴对称的组合运用，设计美观图案，体会变换的价值。

第四章因式分解数与代数▾

学习把多项式化为几个整式乘积的变形——因式分解，掌握提公因式法与公式法，理解它与整式乘法的互逆关系。

1.因式分解数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 因式分解

理解因式分解的概念及其与整式乘法的关系。

因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的变形叫因式分解（分解因式）；它与整式乘法方向相反，可用来互相检验。

2.提公因式法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 因式分解

会确定公因式并用提公因式法分解。

公因式的确定取各项系数的最大公约数、相同字母的最低次幂；首项为负时常先提负号。
提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)；提尽公因式，注意 1 作为系数不能漏。

3.公式法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 因式分解

利用平方差公式与完全平方公式分解因式。

平方差公式法a²−b²=(a+b)(a−b)；适用于“两平方项相减”的多项式。
完全平方公式法a²±2ab+b²=(a±b)²；识别“首平方、末平方、首末乘积二倍在中央”。
分解要彻底先提公因式再用公式，分解到每个因式都不能再分解为止；常用 x²±(p+q)x+pq=(x±p)(x±q) 型十字相配。

第五章分式与分式方程数与代数▾

类比分数学习分式的概念、基本性质与运算，掌握分式方程的解法与增根检验，能用分式方程解决实际问题。

1.认识分式数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 分式

理解分式的概念、基本性质，会约分与通分。

分式的概念形如 A/B 且 B 中含有字母的式子；分母不为 0 时分式才有意义，分母为 0 时无意义；分子为 0 且分母不为 0 时分式的值为 0。
分式的基本性质分子分母同乘（除以）一个不为 0 的整式，分式的值不变；是约分与通分的依据。
约分与最简分式、通分约去分子分母的公因式得最简分式；通分取各分母的最简公分母。

2.分式的乘除法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 分式

掌握分式的乘除与乘方运算。

乘除法则乘法：分子乘分子、分母乘分母；除以一个分式等于乘它的倒数；运算前先约分可简化过程。
分式乘方分子分母分别乘方，(a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ。

3.分式的加减法数与代数

体系路径：数与代数 → 数与式 → 分式

掌握同分母与异分母分式的加减运算。

同分母相加减分母不变、分子相加减，结果要化为最简。
异分母相加减先通分化为同分母再加减；整式可看作分母为 1 的“分式”参与运算。
分式的混合运算先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。

4.分式方程数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 分式方程

掌握分式方程的解法、增根检验及实际应用。

解分式方程方程两边同乘最简公分母化为整式方程求解；必须检验——把根代入最简公分母，值为 0 的是增根，应舍去。
分式方程的应用工程（总工作量 1）、行程（速度变化）等含“分母含未知数”关系的问题，注意检验根的实际意义。

第六章平行四边形图形与几何▾

通过证明与探究掌握平行四边形的性质与判定，学习三角形的中位线定理与多边形内角和公式，完善四边形与多边形的知识体系。

1.平行四边形的性质图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

从边、角、对角线、对称性四方面掌握平行四边形的性质。

边与角的性质两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等，邻角互补。
对角线的性质对角线互相平分；由此可得每条对角线把平行四边形分成两个全等三角形。
对称性平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。

2.平行四边形的判定图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握平行四边形的常用判定方法。

判定定理两组对边分别平行（定义）；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分——满足任一条即为平行四边形。
判定的选择策略根据已知条件选用最直接的判定方法，常借助全等三角形证明对边相等或对角线互相平分。

3.三角形的中位线图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握三角形中位线定理及其应用。

中位线定理连接三角形两边中点的线段叫中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；常用于证明线段平行与倍分关系。

4.多边形的内角和与外角和图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握多边形内角和、外角和公式及正多边形的相关计算。

多边形内角和n 边形内角和为 (n−2)×180°；对角线条数为 n(n−3)/2。
多边形外角和任意多边形的外角和都等于 360°；正 n 边形每个外角为 360°/n，每个内角为 (n−2)×180°/n。

九年级上册2024版目录核验

2026年秋季学期启用 · 目录为2024版（2026秋用书）新编排：二次函数编入九上；依据教习网2024版课文目录核验

第一章特殊平行四边形图形与几何▾

在平行四边形的基础上，系统研究菱形、矩形、正方形的性质与判定，理清特殊四边形之间的从属关系，综合运用四边形知识解决问题。

1.认识特殊平行四边形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

认识菱形、矩形、正方形及其与平行四边形的关系。

特殊四边形的从属关系平行四边形是“底座”：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的是正方形；可画集合关系图记忆。

2.菱形的性质与判定图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握菱形的性质与判定方法。

菱形的性质四条边相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；既是轴对称图形又是中心对称图形。
菱形的判定一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形。
菱形的面积面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半（½ab），后者常用于对角线型计算。

3.矩形的性质与判定图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握矩形的性质与判定方法。

矩形的性质四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（两条对称轴）也是中心对称图形。
矩形的判定有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形。
直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；由矩形对角线性质推得，常用于倍分关系的证明。

4.正方形的性质与判定图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的性质 → 四边形

掌握正方形的性质与判定方法。

正方形的性质兼具矩形与菱形的所有性质：四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分、每条对角线平分一组对角；四条对称轴，中心对称。
正方形的判定有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；对角线相等且互相垂直平分的四边形。

★问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决活动 → 作内嵌于正方形的正八边形

新教材特色栏目：综合运用正方形与作图知识的项目式活动。

活动要点利用正方形的对称性与等腰直角三角形，通过截角构造正八边形，综合运用尺规作图与勾股计算。

第二章一元二次方程数与代数▾

认识一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、公式法与因式分解法四种解法，理解根的判别式与根与系数的关系，能用一元二次方程解决实际问题。

1.认识一元二次方程数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元二次方程

理解一元二次方程的概念与一般形式。

一元二次方程与一般形式只含一个未知数、且未知数最高次数为 2 的整式方程；一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），a 是二次项系数、b 是一次项系数、c 是常数项。

2.一元二次方程的解法数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元二次方程

掌握四种基本解法并会选用。

直接开平方法适用于 (x+m)²=n（n≥0）型方程，直接开方得 x+m=±√n。
配方法把二次项系数化为 1 后，加上一次项系数一半的平方配成完全平方，再开方；体现“降次”思想。
公式法x=(−b±√(b²−4ac))/2a（b²−4ac≥0）；通用方法，先算判别式 Δ=b²−4ac：Δ>0 有两个不相等的实数根，Δ=0 有两个相等的实数根，Δ<0 无实数根。
因式分解法方程一边为 0、另一边分解为两个因式之积，令每个因式为 0 求根；简便快捷，首选可分解的方程。
方法的选择缺一次项用直接开平方；易分解用因式分解法；一般用公式法；配方法多用于二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的情形。

3.一元二次方程的根与系数的关系数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元二次方程

掌握两根之和、两根之积与系数的关系（韦达定理）。

根与系数的关系若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 的两根，则 x₁+x₂=−b/a，x₁·x₂=c/a；可用于不解方程求两根的对称式（如 x₁²+x₂²）及检验根。

4.一元二次方程的应用数与代数

体系路径：数与代数 → 方程与不等式 → 一元二次方程

建立一元二次方程模型解决实际问题。

常见应用类型增长率（a(1+x)²=b）、面积、传播与握手、利润（常配合顶点式最值）等；列方程后注意检验根是否符合实际意义（根可能需舍去）。

第三章图形的相似图形与几何▾

从“形状相同”的角度研究图形，学习成比例线段与相似多边形，探索并证明三角形相似的条件与性质，认识位似变换，能用相似解决测量等实际问题。

1.相似多边形图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 相似

学习成比例线段与相似多边形的概念。

两条线段的比与成比例线段同一单位长度下两条线段的长度之比；四条线段 a、b、c、d 满足 a/b=c/d 时称成比例线段，a、d 为比例外项，b、c 为比例内项。
黄金分割把线段分成两部分，较长部分与全长的比约为 0.618；黄金比在生活中广泛应用。
相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似，对应边的比叫相似比；相似比为 1 时两图形全等。

2.探索三角形相似的条件图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 相似

经历探索，掌握三角形相似的判定方法。

两角对应相等两角对应相等的两个三角形相似（最常用）；平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。
两边成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（类比 SAS）。
三边对应成比例三边对应成比例的两个三角形相似（类比 SSS）。

3.相似三角形判定定理的证明图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 相似

对相似三角形的判定进行演绎证明。

判定的证明借助平行线分线段成比例的基本事实，把“边角边”“边边边”的情形转化为“两角对应相等”完成证明，体会推理链条。

4.相似三角形的性质图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 相似

掌握相似三角形的对应量之间的关系。

基本性质对应角相等，对应边成比例；对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。
周长与面积比周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k²；这是中考高频考点。

5.图形的位似图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 相似

认识位似图形，掌握位似变换的坐标规律。

位似的概念与性质两个相似图形对应点连线交于一点（位似中心）时称位似；位似是特殊的相似，同时确定形状与位置。
坐标系中的位似以原点为位似中心、相似比为 k 时，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (−kx, −ky)；k 的正负决定同侧或异侧。

★问题解决活动：利用相似三角形测高综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决活动 → 利用相似三角形测高

新教材特色栏目：设计并实施方案测量物体高度。

测高方案利用阳光影子比、平面镜反射、标杆等构造相似三角形，测出可测量并按比例求出不可测高度。

第四章投影与视图图形与几何▾

研究平行投影与中心投影的规律，认识物体的三视图，实现立体图形与平面图形的相互转化，发展空间观念。

1.投影图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 投影与视图

认识平行投影与中心投影。

平行投影平行光线（如太阳光）形成的投影；同一时刻同一地点不同物体的影长与物高成比例，太阳光下影子随时间变化。
中心投影点光源（如灯泡）发出的光线形成的投影；连接物体顶端与影子顶端过光源；可由影子判断光源位置或求物高。

2.视图图形与几何

体系路径：图形与几何 → 图形的变化 → 投影与视图

掌握三视图的概念、画法及与几何体的互化。

三视图主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）三者统称三视图；画图遵循“长对正、高平齐、宽相等”。
几何体与三视图互化画直棱柱、圆柱、圆锥、球及其简单组合体的三视图；由三视图想象原几何体并计算表面积、体积。

第五章二次函数数与代数▾

研究二次函数的图象（抛物线）与性质，会用配方法、待定系数法确定表达式，解决最值与实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系。（新版教材由原九下提前至九上）

1.认识二次函数数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 二次函数

理解二次函数的概念与模型意义。

二次函数的概念形如 y=ax²+bx+c（a、b、c 为常数且 a≠0）的函数；自变量的最高次数是 2，整式形式。

2.二次函数的图象与性质数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 二次函数

掌握抛物线的图象特征与性质，会进行三种表达式的互化。

y=ax² 型抛物线a>0 开口向上、a<0 开口向下；|a| 越大开口越窄；对称轴为 y 轴，顶点为原点。
平移规律y=a(x−h)²+k 由 y=ax² 向右平移 h、向上平移 k 得到——“左加右减、上加下减”。
一般式与配方法y=ax²+bx+c 配方得 y=a(x+b/2a)²+(4ac−b²)/4a；对称轴 x=−b/2a，顶点 (−b/2a, (4ac−b²)/4a)。
增减性与最值a>0 时在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大，有最小值；a<0 相反，有最大值；最值在顶点处取得。

3.二次函数的应用数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 二次函数

用二次函数解决最值与抛物线形问题。

最值问题最大利润、最大面积等：建立 y 关于 x 的二次函数，注意自变量取值范围与顶点是否在范围内。
抛物线形建模拱桥、投篮轨迹、喷泉等以抛物线为模型的实际问题，常建立坐标系求表达式再求解。

4.二次函数与一元二次方程数与代数

体系路径：数与代数 → 函数 → 二次函数

理解抛物线与 x 轴交点和方程根的关系。

交点与根的关系抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标就是 ax²+bx+c=0 的根；判别式 Δ>0 两交点、Δ=0 一交点（相切）、Δ<0 无交点。
图象法估算近似解利用图象夹逼或求交点估计一元二次方程的近似根，体会函数观点的统一性。

★问题解决活动：怎样围面积最大综合与实践

体系路径：综合与实践 → 问题解决活动 → 怎样围面积最大

新教材特色栏目：用二次函数探究周长一定时的最大面积。

活动要点借助表格、图象与表达式多角度探索“周长一定、靠墙围矩形”的最大面积问题，体会函数最值的应用。

第六章概率的进一步认识统计与概率▾

学习用列表与画树状图的方法分析两步试验的概率，进一步体会用频率估计概率的思想。

1.用树状图或表格求概率统计与概率

体系路径：统计与概率 → 概率 → 概率的进一步认识

掌握分析两步（多步）等可能试验的两种工具。

树状图法按步骤逐层列出所有等可能结果，避免遗漏或重复；适合每步结果较多或后续步骤不同的情况。
列表（表格）法适合两步且每步结果相同的试验（如掷两枚骰子），表格列出全部 n 个结果，数出符合条件的结果 m，得 P=m/n。
游戏公平性用概率比较判断游戏规则是否公平，并会修改规则使双方获胜概率相等。

2.用频率估计概率统计与概率

体系路径：统计与概率 → 概率 → 概率的进一步认识

深化用频率估计概率的思想方法。

频率估计概率对结果不易穷举或不确定是否等可能的试验（如图钉落地、投篮命中率），通过大量重复试验用稳定频率估计概率。
模拟试验用替代物或计算器随机数模拟试验，估算复杂事件的概率。

综合与实践综合与实践（九上）综合与实践▾

以推理探究与统计估计为主题的综合实践活动。

①.猜想、证明与拓广综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 猜想、证明与拓广

对一个命题经历猜想、证明与拓广的完整探究。

命题探究链由特殊例证猜想命题→严格证明→改变条件拓广出新命题再研究，发展合情推理与演绎推理能力。

②.池塘里有多少条鱼综合与实践

体系路径：综合与实践 → 项目式学习活动 → 池塘里有多少条鱼

用标记重捕法估计鱼群数量。

用样本估计总体捕捞部分鱼作标记放回，再捕一次用“标记比例≈总体比例”估计总数，体会概率与统计的联系。

九年级下册新版未发布·按课标整理

新版预计2027年春季学期启用（尚未发布） · 2024版九下尚未发布；二次函数已编入新版九上。以下按2013审定版框架与2022年版课标要求整理，新版预计含反比例函数、直角三角形的边角关系（锐角三角函数）、圆三大主题，知识点内容不受换版影响

第一章直角三角形的边角关系图形与几何▾

在直角三角形中引入锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值与解直角三角形的方法，解决测量、方位、坡度等实际问题。

1.锐角三角函数图形与几何